UNIDAD 1 - MATEMÁTICAS

 Acciones de aprendizaje Unidad 1 

Al finalizar esta unidad usted podrá:

• Reconocer si una proposición es simple, compuesta o cuantificada.

• Hallar el valor de verdad de una proposición.

• Simbolizar una proposición con cuantificadores.

• Resolver inecuaciones cuadráticas y con valor absoluto.

• Desarrollar desigualdades para representar situaciones cotidianas y usarlas para resolver problemas.

• Analizar representaciones decimales de los números reales para diferenciar entre racionales e irracionales.

• Comparar y contrastar las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos.

Conociendo la lógica Matemática

La lógica matemática es una disciplina que se centra en el estudio y la formalización del razonamiento y el pensamiento utilizando un conjunto específico de reglas y símbolos. Su principal objetivo es proporcionar un marco riguroso y preciso para expresar ideas, argumentos y relaciones en el ámbito de las matemáticas. La lógica matemática introduce un conjunto de símbolos y reglas formales que eliminan la ambigüedad y permiten expresar afirmaciones y relaciones de manera clara y precisa.

Proposiciones Matemáticas 

En lógica matemática, una proposición es una afirmación que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas. En otras palabras, una proposición afirma algo sobre un sistema matemático o lógico dado y puede tomar uno de estos dos valores: verdadero o falso. Las proposiciones se utilizan a menudo para construir enunciados más complejos, mediante conectivos lógicos como "y", "o", "no", etc.

Un ejemplo de proposición es "5 es un número primo", que es falsa, mientras que "5 es un número compuesto" es verdadera. Otro ejemplo es "el conjunto de todos los números enteros positivos es infinito", que es verdadera.

En lógica formal, las proposiciones suelen representarse mediante notación simbólica, como variables proposicionales (por ejemplo, p, q, r), conectivas lógicas (por ejemplo, ∧, ^, ∨ (o), ¬ (no)) y cuantificadores (por ejemplo, ∀ (para todos), ∃ (existe)). Esto permite manipular las proposiciones mediante sistemas de prueba formales, como la deducción natural, para derivar nuevas proposiciones verdaderas a partir de proposiciones dadas.

Además, las proposiciones desempeñan un papel clave en el estudio de diversos sistemas formales, como la lógica proposicional, la lógica de predicados, la lógica modal y la lógica intuicionista, que tienen diferentes poderes expresivos, sistemas de prueba y semántica.

Conjuntos Matemáticos

Un conjunto es una colección de objetos o elementos distintos, que se agrupan y suele denotarse mediante un conjunto de llaves {}. En matemáticas, los conjuntos se utilizan para organizar y estudiar colecciones de objetos, como números, formas o puntos en el espacio. Los objetos de un conjunto se denominan elementos o miembros.

La notación utilizada para designar un conjunto y sus elementos es {x1, x2, x3, ...}, donde x1, x2, x3, ... son los elementos del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los tres primeros números enteros positivos es {1, 2, 3}. El conjunto vacío, denotado por {} o Ø, es un conjunto sin elementos.

Los conjuntos también pueden definirse utilizando la notación de constructor de conjuntos, que es una forma más formal de describir los elementos de un conjunto. Por ejemplo, el conjunto de todos los números enteros pares puede definirse como {x | x es un número entero y x es par}. Esto significa que x es un elemento del conjunto si y sólo si x es un número entero y x es par.

Los conjuntos son un concepto importante en matemáticas, ya que constituyen la base de muchas ramas de las matemáticas, como la teoría de conjuntos, el álgebra y la geometría. También se utilizan en informática, física y otros campos.

El conjunto de números reales 

Los números reales son el conjunto de todos los números que pueden representarse en la recta numérica. Incluyen tanto los números racionales (como los enteros y las fracciones) como los irracionales (números que no pueden expresarse como cociente de enteros, como √2 o π).

Los números reales suelen representarse con el símbolo R o ℝ, e incluyen todos los números que pueden escribirse como decimales o fracciones. También se cierran bajo las operaciones aritméticas habituales (como la suma, la resta, la multiplicación y la división) y la relación de orden.

Los números reales también se utilizan en diversos campos de las matemáticas, como el álgebra, la geometría, el análisis y otras ciencias aplicadas como la física, la ingeniería y la economía.

Los números reales tienen muchas propiedades y estructura, como la completitud y la densidad, además, se utilizan como base para todas las demás áreas de las matemáticas.